Progetto Olimpiadi della Matematica
1. Oggetto
Questo documento spiega i motivi che hanno spinto al recente cambiamento dell’algoritmo per le quote di Cesenatico ed illustra le novità sottolineando le differenze rispetto alla situazione precedente.
2. Spiegazione sintetica del funzionamento dell’algoritmo
Si ricorda che le quote disponibili a Cesenatico, a meno di quote bonus per accorpamenti di distretti (vedi "Altre considerazioni" più in basso), sono 300.
Sia prima, sia dopo la modifica, in sintesi l’algoritmo per assegnare quelle 300 quote funziona come descritto di seguito.
a) Tolti dal novero dei concorrenti quelli che hanno preso la medaglia d’oro e parteciperanno di nuovo a Cesenatico (che avranno quote ad personam loro riservate), per ciascun distretto si sommano i punteggi di tutti i concorrenti, eventualmente aumentati moltiplicandoli con i coefficienti 1.2, 1.4, 1.6 e 1.8 se sono del IV, III, II o I anno.
b) I punteggi ottenuti si riscalano in modo che la somma sia uguale al numero di quote disponibili (ovvero 300 meno le quote ad personam).
c) In modo simile, per ciasun distretto si conta il numero di scuole iscritte ai Giochi di Archimede e si riscalano questi numeri in modo che la somma sia uguale al numero di quote disponibili (ovvero 300 meno le quote ad personam).
d) Per ciascun distretto si calcola una media pesata di 4 valori: i punteggi ottenuti in b) negli ultimi 3 anni e il punteggio ottenuto in c). I coefficienti di questa media pesata sono 5/12, 5/18, 5/36, 1/6. Il valore ottenuto è detto quota vera, ed è un numero reale.
e) Si arrotondano le quote vere in modo da farle diventare numeri interi tali che siano tutti maggiori o uguali a 1 e la somma sia uguale al numero di quote disponibili (ovvero 300 meno le quote ad personam)
f) Si aggiungono ai vari distretti le relative quote ad personam.
3. Spiegazione sintetica della modifica dell’algoritmo
La modifica interessa solo l’arrotondamento al punto e).
Precedentemente l’arrotondamento era fatto troncando all’intero inferiore o arrotondando all’intero superiore. Venivano arrotondati all’intero superiore tutti i distretti con quota vera minore di 1 e inoltre i distretti le cui quote vere avevano parte frazionaria più alta, fino al raggiungimento del totale richiesto.
Ora invece si assegna una quota a ciascun distretto e si distribuiscono le altre secondo l’algoritmo di Hondt. Tale procedura è equivalente a questa: si identifica un numero reale x (che sarà poco maggiore di 1) tale che, assegnando 1 quota a chi ha quota vera tra 0 e x, 2 quote a chi ha quota vera tra x e 2x, o in generale assegnando n quote ha chi ha quota vera tra (n-1)x e x, il numero totale di quote assegnate risulti pari a quelle disponibili.
4. Difetto dell’algoritmo precedente
In pratica, con l’algoritmo precedente le quote venivano arrotondate per difetto o per eccesso a seconda che la parte frazionaria fosse inferiore o superiore ad un numero reale y che tipicamente assumeva un valore vicino a 0.55.
In questo modo era troppo difficile per i distretti con pochissime quote vedere premiati i propri miglioramenti aumentando il numero di quote.
Facciamo qualche esempio. Un distretto di 1 quota, per salire a 2 aveva bisogno di quota vera 1.55, ovvero che l’unico concorrente di quella provincia facesse per 3 anni in media un punteggio da medaglia di argento.
Un distretto di 2 quote, per salire a 3 aveva bisogno di due concorrenti che stabilmente per 3 anni facessero in media punteggi da bronzo alto.
Detto altrimenti, un distretto da 1 quota doveva fare il 55% in più del suo dovere per salire a 2 quote; un distretto da 2 quote doveva fare il 27% in più del suo dovere per salire a 3 quote. Viceversa, un distretto da 20 quote doveva fare in media il 3% in più del suo dovere per salire a 21 quote.
Qui con "dovere" si intende che i concorrenti di quel distretto facciano in media il punteggio medio di Cesenatico di quell’anno.
Ovviamente questi diversi valori valevano anche per perdere quote, quindi un distretto da 20 quote bastava facesse il 2% in meno del suo dovere per perderne una, mentre un distretto da 2 quote doveva fare il 22% in meno del suo dovere per scendere a 1 quota.
Insomma, il sistema era quasi simmetrico, ma troppo statico per i distretti piccoli, al limite da impedire di fatto a distretti con 1 quota di risalire a 2 quote.
5. Sulla ragionevolezza del nuovo algoritmo
Il nuovo algoritmo assegna le quote in maniera proporzionale alla quota vera, senza favorire in maniera impropria i distretti piccoli.
Il nuovo sistema di arrotondamento non è simmetrico, perché rende più facile per i distretti piccolissimi crescere che non decrescere, tuttavia resta ancora vero che solo distretti meritevoli possono crescere.
Facendo un esempio, se x=1.18 (valore tipico), un distretto con 1 quota deve arrivare a quota vera 1.18 per salire a 2 quote, mentre un distretto con 2 quote può salire a 3 se supera 2.36 e scendere a 1 se scende sotto 1.18.
In entrambi casi il distretto deve fare il 18% in più del suo dovere per guadagnare una quota.
6. Altre considerazioni
Non c’è alcun rapporto tra questa variazione all’algoritmo e i recenti accorpamenti di distretti.
a) I distretti che rischiano di essere accorpati forzosamente sono solo quelli che avranno quota vera inferiore a 1 per diversi anni consecutivi. I distretti che approfittano del nuovo algoritmo sono quelli che hanno quota vera maggiore di 1.18 ma minore di 1.55 (valori tipici)
b) Le quote bonus assegnate per incentivare le fusioni dei distretti non vengono tolte ad altri distretti, ma aggiunte al totale delle quote di Cesenatico. Ad esempio per il 2012 ci saranno 308 concorrenti a Cesenatico: 10 quote ad personam, 290 quote assegnate secondo l’algoritmo e 8 quote bonus assegnate ai distretti accorpati.
La penalizzazione percepita dai distretti maggiori (soprattutto Roma, Torino e Milano) è dovuta al fatto che in questo momento il numero di distretti con una sola quota è molto elevato. Questo influenza il numero x rendendolo più alto di quanto non sarebbe con una distribuzione delle quote più uniforme. Si auspica che gli accorpamenti dei distretti troppo piccoli alla lunga portino a migliorare questo aspetto.
Sarebbe stato certamente possibile correggere il difetto dell’algoritmo precedente con altri sistemi, ma dopo ampia discussione la Commissione Olimpiadi ha scelto questo sistema valutandone positivamente la correttezza sostanziale e la chiarezza di funzionamento. Le altre soluzioni proposte presentavano criticità e problematiche che sono state ritenute più gravi.
